Paola Gervasio - DICATAM - Università degli Studi di Brescia - paola.gervasio_at_unibs.it
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Analisi Matematica 1 -- A.A. 2017/2018

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Programma del corso

Programma del corso (9CFU)

  • Nozioni di base.
    Elementi di logica: proposizioni, predicati, connettivi logici, quantificatori, tecniche dimostrative. Il principio di induzione.
  • Insiemi Numerici.
    I numeri reali: ordinamento dei numeri reali e completezza. Modulo di un numero reale, disuguaglianza triangolare. Intervalli. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali. Estremi inferiore e superiore.
  • Numeri complessi.
    Definizioni. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale e loro proprietà Il piano di Gauss. La formula di Eulero. Radici n-esime. Risoluzione di equazioni algebriche in campo complesso.
  • Funzioni di una variabile reale.
    Concetto di funzione reale a variabile reale. Immagine e controimmagine. Dominio, codominio, insieme immagine. Grafico di una funzione. Funzioni matematiche elementari. Funzioni simmetriche, monotone, periodiche. Composizione di funzioni e funzione inversa. Funzioni limitate, massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di una funzione.
  • Successioni numeriche.
    Definizioni. Successioni monotone. Successioni limitate, sottosuccessioni.
  • Limiti di successioni e funzioni.
    Limiti di successioni. Limiti di funzioni. Limiti destro e sinistro. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni monotone. Teoremi di unicità, di permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri. Forme indeterminate e confronti asintotici. Limiti notevoli. Asintoti di funzione.
  • Continuità.
    Continuità: definizione di funzione continua. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Analisi dei punti di discontinuità. Teorema di sostituzione. Teorema di Weierstrass. Proprietà delle funzioni continue.
  • Serie numeriche.
    Definizioni; serie a termini positivi e relativi criteri di convergenza; convergenza semplice ed assoluta; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz
  • Calcolo differenziale.
    Definizione di derivata. Legame con la continuità. Derivata di funzioni elementari. Derivata destra e sinistra. Punti di non derivabilità. Teoremi sul calcolo delle derivate. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Punti stazionari: classificazione. Massimi e minimi relativi. Legame tra monotonia e segno della derivata prima. Concavità e convessità e legame col segno della derivata seconda. Studio di funzione. Teorema di de l'Hopital.
  • Sviluppi di Taylor.
    Derivate di ordine superiore. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. La formula di Taylor con il resto di Peano e Lagrange.
  • Integrali.
    Definizione e proprietà fondamentali. Integrabilità di alcune classi di funzioni. Teorema della media. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Primitive. Integrazione per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte.
  • Integrali impropri.
    Definizione e criteri di convergenza.
  • Equazioni differenziali.
    Definizioni. Risoluzione di equazioni a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.


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