Esercitazione su equazioni differenziali ordinarie

Si consideri il seguente problema di Cauchy:
$\begin{eqnarray}\label{pdC} \left\{\begin{array}{ll} y'(t)=\lambda y(t)+g'(t)-\lambda g(t) & t\in (0,10]\\ y(t_0)=2, \end{array} \right. \end{eqnarray}$
dove $\lambda \in \mathbb{R}^-$ e $g(t)=10-(10+t)e^{-t}$ .

Si approssimi il problema (1) con il metodo predictor-corrector AB2-AM3, fissando $\lambda=-10$ e si verifichi sperimentalmente che l'ordine di accuratezza del metodo è 3, sapendo che la soluzione esatta del problema dato è $y(t)=2e^{\lambda t}+g(t).$
Per $$\lambda=-10,\ -20,\ -40$,$ plottando la soluzione numerica ed osservandone il comportamento convergente o divergente per $$t_n\nearrow$,$ si determini sperimentalmente la limitazione su affinché si abbia assoluta stabilità (si considerino 2 cifre decimali per la mantissa di ).
In base ai risultati ottenuti, determinare una costante , indipendente da e $\lambda$ , tale che la regione di assoluta stabilità dello schema AB2-AM3, ristretta all'asse reale, si possa esprimere come $C_1< h\lambda < 0.$
Si consideri $\lambda=-500$ . In base al valore di determinato ai punti precedenti, si diano limitazioni su per avere assoluta stabilità. Utilizzare sempre 2 cifre decimali per la mantissa di . Verificare sperimentalmente la validità della limitazione ottenuta.
Determinare il massimo valore di per cui l'errore sulla soluzione esatta in sia minore o uguale a $10^{-5}$ . (si considerino sempre due cifre decimali per la mantissa di ).
In base a quanto trovato il problema si può classificare come problema stiff? Giustificare la risposta.